ФИВТ:Динамические системы:2012
Материал из TDS
| Строка 32: | Строка 32: | ||
==Задачи к экзамену== | ==Задачи к экзамену== | ||
* [[ФИВТ:ДС:Упражнения|Упражнения]] | * [[ФИВТ:ДС:Упражнения|Упражнения]] | ||
| - | * [[ФИВТ:ДС:Лабораторные работы|Лабораторные работы | + | * [[ФИВТ:ДС:Лабораторные работы:2012|Лабораторные работы]] |
Лектор: [[Приходько Александр Александрович|А. Приходько]] | Лектор: [[Приходько Александр Александрович|А. Приходько]] | ||
Текущая версия на 09:23, 22 сентября 2013
Программа
1. Действие группы (полугруппы) как универсальная модель динамической системы. Примеры инвариантных структур на фазовом пространстве: топологические динамические системы, действия с инвариантной и квази-инвариантной мерой.
2. Кодирование динамических систем. Символическая динамика. Примеры символических систем: схема Бернулли, процесс Маркова, подстановочные системы. Топология на пространстве последовательностей. Свойства преобразования сдвига.
3. Марковское кодирование гиперболического автоморфизма Аносова на двумерном торе.
4. Динамические системы с инвариантной мерой и индуцированные ими случайные процессы. Конструкция системы, порождённой бесконечным словом: инвариантный компакт и стандартная инвариантная мера. Теорема Боголюбова--Крылова о существовании инвариантной меры гомеоморфизма компакта.
5. Эргодические теоремы Фон Неймана и Биркгофа--Хинчина. Лемма Рохлина--Халмоша. Эргодические меры как крайние точки множества инвариантных мер.
6. Спектральная теорема. Унитарное представление Купмана. Циклические пространства и спектральные меры. Спектральные инварианты. Примеры спектрального исследования: схема Бернулли, автоморфизм Аносова, поворот окружности, одометр.
7. Джойнинги. Теорема о классификации автоморфизмов с чисто точечным спектром.
8. Статистические свойства: перемешивание, слабое перемешивание, и их спектральная интерпретация. Простота спектра автоморфизмов ранга 1. Примеры динамических систем с сингулярным спектром. Теорема Винера.
9. Понятие об энтропии динамической системы. Энтропия и информация. Теорема Шеннона--Макмиллана--Бреймана. Разбиение Пинскера. K-системы.
10. Дизъюнктность динамических систем. Факторы и расширения.
11. Символическая сложность. Оценка сложности апериодических последовательностей. Примеры вычисления сложности системы: поворот окружности, система ранга 1, схема Бернулли.
12. Динамические системы, связанные с дифференциальными уравнениями. Системы классической и квантовой механики. От потока к диффеоморфизму и обратно: отображение Пуанкаре и надстройка. Автоморфизмы перекладывания отрезков.
13. Предельное поведение траекторий. Теорема Пуанкаре--Бендиксона.
14. Гиперболические системы. Устойчивое и неустойчивое многообразия. Подкова Смейла. Аттракторы. Мультипликативная эргодическая теорема.
Задачи к экзамену
Лектор: А. Приходько
