Новые задачи аддитивной комбинаторики:2016

Материал из TDS

Лектор: И.Д. Шкредов

Аддитивная комбинаторика – это промежуточный между комбинаторикой и теорией чисел раздел математики, в котором изучают комбинаторные вопросы, связанные с групповой операцией. Иными словами, основным предметом данной науки является комбинаторика подмножеств некоторой группы G, а специфические алгебраические свойства "обертывающей" группы G обычно оставляются без внимания. Типичными аддитивно-комбинаторными вопросами являются: верно ли, что любое достаточно “плотное” множество обязано содержать решения линейных уравнений (например, арифметические прогрессии), чем сумма множеств A+A (множество, составленное из попарных сумм элементов A) отличается от произвольного множества, верно ли, что у любого подмножества целых чисел либо его сумма, либо произведение велики?

В этом семестре мы разберем несколько старых и новых аддитивных комбинаторных задач. Мы докажем теорему Шаркози о суммах близких множеств, которая обобщает старую оценку Харди в проблеме круга, получим элементарное доказательство теоремы Хассе о числе точек на эллиптической кривой по простому модулю и рассмотрим другие задачи.