Просеминар кафедры - 2020/21

Просеминар 12 марта 2021 г.

Мы поговорим о геометрическом смысле мультипликативной эргодической теоремы (некоммутативный аналог закона больших чисел для динамических систем), а также о некотором новом понимании показателей Ляпунова.

Просеминар 5 марта 2021 г.

Для динамической системы $(X,B,\mu,T)$ и фиксированного множества $A \in B$ определим множество возвращения $R_A = { n : \mu(A \cap T^{-n}A) > 0 } \subseteq N$. Легко видеть, что множество натуральных чисел $R_A$ имеет плотность $d(R_A)$ не меньшую $\mu(A)$. Что можно сказать о динамических системах с экстремальной плотностью $d(R_A) = \mu (A)$? Про системы с $d(R_A) \le (1+\epsilon) \mu (A)$? Оказывается, что такие динамические системы обладают очень жесткой структурой, причем структура будет появляться вплоть до $\epsilon<1$. В одном из доказательств такого рода результатов используются методы аддитивной комбинаторики, которые мы и опишем.

Просеминар 19 февраля 2021 г.

Аннотация. В докладе будет рассказано максимально простыми словами на примере достаточного количества фактов, что, действительно, такая аналогия часто встречается. И если останется время, то о приложениях этой похожести для динамических систем. Упомяну сейчас только, к примеру, теоремы Пуанкаре, Фубини и проблему Фюрстенберга, имеющие своих менее известных братьев в альтернативных теориях.

Задача полной классификации критических точек аналитических функций многих переменных на данный момент представляется необозримой. Однако можно получить начальную (и самую простую) часть этой классификации –– описать виды критических точек, при малом возмущении которых возникает не более чем конечное число других видов критических точек.

В докладе будет приведено описание таких критических точек, полученное В. И. Арнольдом, и рассказано об основных идеях, которые используются при получении их классификации. Кроме того, будут сформулированы некоторые обобщения исходной задачи.

Доклад является продолжением доклада 3 декабря, но будет полностью доступен и слушателям, пропустившим предыдущий доклад.

Просеминар 3 декабря

Теория особенностей изучает критические точки отображений и особые точки кривых/поверхностей –– такие точки, в окрестности которых поведение указанных объектов отличается от "типичного".

В докладе будет рассказано о нескольких задачах теории особенностей аналитических функций –– как решённых, так и нерешённых –– и о том, как при их решении возникают удивительные связи между объектами из алгебры, топологии, комбинаторики и других разделов математики.

Просеминар 26 ноября

Понятие структурной устойчивости векторных полей было введено в работе 1937 года Л.С.Понтрягина и А.А.Андронова. Оно было мотивировано желанием ученых, занимавшихся прикладными исследованиями, иметь понятие-характеристику для систем, которые сохраняли бы качественные свойства своего поведения при малых изменениях своих параметров.

Позже аналогичные понятия появились и в других областях математики, например, в теории особенностей гладких отображений, теории управляемых систем.

Доклад будет посвящен понятию структурной устойчивости, интересным результатам в этой области и нерешенным задачам.

Для понимания доклада специальных знаний не требуется.

Просеминар 19 ноября

Энтропия  —  важный инвариант динамических систем, характеризующий хаотичность их траекторий, сфера применения которого простирается от дифференциальной геометрии до теории чисел. Мы посчитаем энтропию на простых примерах, сформулируем ряд исследовательских задач.

Просеминар 12 ноября

Элементарный рассказ про графен в электромагнитном поле, уравнение Дирака, его квазиклассическое решение и связанную со всем этим задачу для курсовой работы.

Программа первого занятия просеминара 5 ноября

1) Вступительное слово заведующего кафедрой ТДС, профессора А.А. Давыдова

2) Доклад чл.-корр. РАН, профессора кафедры ТДС И.Д. Шкредова

Аннотация:

Мы расскажем о некоторых приложениях аддитивной комбинаторики к задачам теории чисел, теории функций, теории динамических систем, криптографии и теоретической информатики, полученных докладчиком единолично и совместно с соавторами. Будет дано небольшое историческое введение в предмет.

Кроме того, мы обсудим современную аддитивно-комбинаторную проблематику и постановки актуальных задач из этой области.

Доклад будет понятен младшекурсникам!