Кафедра теории динамических систем

Просеминар 5 марта 2021 г.

Для динамической системы $(X,B,\mu,T)$ и фиксированного множества $A \in B$ определим множество возвращения $R_A = { n : \mu(A \cap T^{-n}A) > 0 } \subseteq N$. Легко видеть, что множество натуральных чисел $R_A$ имеет плотность $d(R_A)$ не меньшую $\mu(A)$. Что можно сказать о динамических системах с экстремальной плотностью $d(R_A) = \mu (A)$? Про системы с $d(R_A) \le (1+\epsilon) \mu (A)$? Оказывается, что такие динамические системы обладают очень жесткой структурой, причем структура будет появляться вплоть до $\epsilon<1$. В одном из доказательств такого рода результатов используются методы аддитивной комбинаторики, которые мы и опишем.

Просеминар 19 февраля 2021 г.

Аннотация. В докладе будет рассказано максимально простыми словами на примере достаточного количества фактов, что, действительно, такая аналогия часто встречается. И если останется время, то о приложениях этой похожести для динамических систем. Упомяну сейчас только, к примеру, теоремы Пуанкаре, Фубини и проблему Фюрстенберга, имеющие своих менее известных братьев в альтернативных теориях.