ФИВТ:Динамические системы
Материал из TDS
| Строка 1: | Строка 1: | ||
==Программа== | ==Программа== | ||
| + | 1. Действие группы (полугруппы) как универсальная модель динамической системы. Примеры инвариантных структур на фазовом пространстве: топологические динамические системы, действия с инвариантной и квази-инвариантной мерой. | ||
| + | |||
| + | 2. Кодирование динамических систем. Символическая динамика. Примеры символических систем: схема Бернулли, процесс Маркова, подстановочные системы. Топология на пространстве последовательностей. Свойства преобразования сдвига. | ||
| + | |||
| + | 3. Марковское кодирование гиперболического автоморфизма Аносова на двумерном торе. | ||
| + | |||
| + | 4. Динамические системы с инвариантной мерой и индуцированные ими случайные процессы. Конструкция системы, порождённой бесконечным словом: инвариантный компакт и стандартная инвариантная мера. Теорема Боголюбова--Крылова о существовании инвариантной меры гомеоморфизма компакта. | ||
| + | |||
| + | 5. Эргодические теоремы Фон Неймана и Биркгофа--Хинчина. Лемма Рохлина--Халмоша. Эргодические меры как крайние точки множества инвариантных мер. | ||
| + | |||
| + | 6. Спектральная теорема. Унитарное представление Купмана. Циклические пространства и спектральные меры. Спектральные инварианты. Примеры спектрального исследования: схема Бернулли, автоморфизм Аносова, поворот окружности, одометр. | ||
| + | |||
| + | 7. Джойнинги. Теорема о классификации автоморфизмов с чисто точечным спектром. | ||
| + | |||
| + | 8. Статистические свойства: перемешивание, слабое перемешивание, и их спектральная интерпретация. Простота спектра автоморфизмов ранга 1. Примеры динамических систем с сингулярным спектром. Теорема Винера. | ||
| + | |||
| + | 9. Понятие об энтропии динамической системы. Энтропия и информация. Теорема Шеннона--Макмиллана--Бреймана. Разбиение Пинскера. K-системы. | ||
| + | |||
| + | 10. Дизъюнктность динамических систем. Факторы и расширения. | ||
| + | |||
| + | 11. Символическая сложность. Оценка сложности апериодических последовательностей. Примеры вычисления сложности системы: поворот окружности, система ранга 1, схема Бернулли. | ||
| + | |||
| + | 12. Динамические системы, связанные с дифференциальными уравнениями. Системы классической и квантовой механики. От потока к диффеоморфизму и обратно: отображение Пуанкаре и надстройка. Автоморфизмы перекладывания отрезков. | ||
| + | |||
| + | 13. Предельное поведение траекторий. Теорема Пуанкаре--Бендиксона. | ||
| + | |||
| + | 14. Гиперболические системы. Устойчивое и неустойчивое многообразия. Подкова Смейла. Аттракторы. Мультипликативная эргодическая теорема. | ||
| + | |||
| + | * [[ФИВТ:ДС:Программа|(Программа на отдельной странице)]] | ||
==Задачи к экзамену== | ==Задачи к экзамену== | ||
| - | |||
* [[ФИВТ:ДС:Упражнения|Упражнения]] | * [[ФИВТ:ДС:Упражнения|Упражнения]] | ||
* [[ФИВТ:ДС:Лабораторные работы|Лабораторные работы]] | * [[ФИВТ:ДС:Лабораторные работы|Лабораторные работы]] | ||
Версия 12:19, 21 ноября 2012
Программа
1. Действие группы (полугруппы) как универсальная модель динамической системы. Примеры инвариантных структур на фазовом пространстве: топологические динамические системы, действия с инвариантной и квази-инвариантной мерой.
2. Кодирование динамических систем. Символическая динамика. Примеры символических систем: схема Бернулли, процесс Маркова, подстановочные системы. Топология на пространстве последовательностей. Свойства преобразования сдвига.
3. Марковское кодирование гиперболического автоморфизма Аносова на двумерном торе.
4. Динамические системы с инвариантной мерой и индуцированные ими случайные процессы. Конструкция системы, порождённой бесконечным словом: инвариантный компакт и стандартная инвариантная мера. Теорема Боголюбова--Крылова о существовании инвариантной меры гомеоморфизма компакта.
5. Эргодические теоремы Фон Неймана и Биркгофа--Хинчина. Лемма Рохлина--Халмоша. Эргодические меры как крайние точки множества инвариантных мер.
6. Спектральная теорема. Унитарное представление Купмана. Циклические пространства и спектральные меры. Спектральные инварианты. Примеры спектрального исследования: схема Бернулли, автоморфизм Аносова, поворот окружности, одометр.
7. Джойнинги. Теорема о классификации автоморфизмов с чисто точечным спектром.
8. Статистические свойства: перемешивание, слабое перемешивание, и их спектральная интерпретация. Простота спектра автоморфизмов ранга 1. Примеры динамических систем с сингулярным спектром. Теорема Винера.
9. Понятие об энтропии динамической системы. Энтропия и информация. Теорема Шеннона--Макмиллана--Бреймана. Разбиение Пинскера. K-системы.
10. Дизъюнктность динамических систем. Факторы и расширения.
11. Символическая сложность. Оценка сложности апериодических последовательностей. Примеры вычисления сложности системы: поворот окружности, система ранга 1, схема Бернулли.
12. Динамические системы, связанные с дифференциальными уравнениями. Системы классической и квантовой механики. От потока к диффеоморфизму и обратно: отображение Пуанкаре и надстройка. Автоморфизмы перекладывания отрезков.
13. Предельное поведение траекторий. Теорема Пуанкаре--Бендиксона.
14. Гиперболические системы. Устойчивое и неустойчивое многообразия. Подкова Смейла. Аттракторы. Мультипликативная эргодическая теорема.
