2009:ОДУ

Материал из TDS

Версия 13:36, 17 января 2013

Программа курса Обыкновенные дифференциальные уравнения. Мех-мат, 2008/09

Лектор – Закалюкин Владимир Михайлович

Предлагаем вашему вниманию список вопросов к экзамену по курсу ОДУ, образец вопросов письменного экзамена и конспекты некоторых (не всех) лекций из курса. Остальные вопросы, которые есть в программе, повторяйте по своим конспектам и указанной литературе.

Конспекты лекций И.А.Богаевского, 2010, осенний семестр

Конспекты лекций В.М.Закалюкина, 2010, весенний семестр

Лекции

Осенний семестр:

1. Дифференциальное уравнение 1 порядка в нормальной форме. Решения. Примеры. Поле направлений на (расширенной) фазовой плоскости. Изоклины. Формулировки теорем существования и единственности решения задачи Коши. Пример: уравнение с разделяющимися переменными.
2. Система дифференциальных уравнений в нормальном виде. Векторная запись. Норма вектора. Ломаные Эйлера. Конус Пеано. Формулировки теорем о существовании (для непрерывной правой части) и единственности (для правой части, удовлетворяющей условию Липшица) решения задачи Коши для системы.
3. Доказательство теоремы о существовании. Лемма Арцеля. Доказательство теоремы единственности.
4. Решения некоторых уравнений (однородные, линейные). Запись уравнения в дифференциалах. Решения. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
5. Продолжение решений до границы. Примеры.
6. Уравнение, не разрешенное относительно производной.
7. Уравнения высших порядков. Некоторые методы решения. Сведение к системе.
8. Линейные системы. Общие свойства: существование, продолжаемость решений, свойства пространства решений однородной системы. Фундаментальная система решений.
9. Определитель Вронского. Формула Лиувилля–Остроградского. Линейные неоднородные системы. Метод вариации постоянных. Формула Грина.
10. Линейные уравнеия (высших порядков) с постоянными коэффициентами. Случаи вещественных, комплексных, кратных собственных значений.
11. Решения неоднородных уравнений с правой частью в виде квазимногочлена.
12. Линейные уравнения второго порядка. Приведение к нормальному виду. Теоремы о нулях решений. Теоремы сравнения Штурма. Поведение решений на бесконечности. Преобразование Лиувилля.
13. Краевые задачи линейных уравнений второго порядка. Функция Грина. Примеры.
14. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Нормы в пространстве матриц. Матричные ряды. Экспонента матрицы. Свойства. Способы нахождения.
15. Решений линейной системы в случае вещественных простых и кратных корней.

Весенний семестр (весна 2009):

1. Фазовые потоки. Экспонента линейного оператора. Комплексификация и овеществление. Вычисление экспоненты комплексного числа и жордановой клетки.
2. Неоднородные системы с постоянными коэффициентами однородной части. Квазимногочлены. Вариация постоянных.
3. Системы с дискретным временем (возвратные уравнения). Фазовые портреты линейных систем на плоскости.
4. Производное отображение. Уравнение в вариациях по начальным условиям и параметрам.
5. Гладкая зависимость решений от начальных условий и параметров.
6. Теорема о выпрямлении и ее следствия. Полная система первых интегралов.
7. Задача Коши для линейных и квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка.
8. Устойчивость особых точек векторных полей и отображений.
9. Периодические решения. Линейные системы с периодическими коэффициентами. Мультипликаторы. Устойчивость.
10. Малые колебания. Плотные обмотки тора.
11. Нормальные формы систем вблизи вырожденных особых точек, резонансы. Элементы теории бифуркаций.
12. Топологические инварианты особых точек и векторных полей в целом. Индекс особой точки.
13. Элементы эргодической теории. Динамические системы с инвариантной мерой.

Практические занятия

(По задачнику А.Ф.Филиппова)

Осенний семестр:

1. Составление простейших Дифференциальных уравнений. Изоклины.
2. Уравнения с разделяющимися переменными.
3. Однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка.
4. Уравнения в полных дифференциалах.
5. Существование и единственность, проолжение решений.
6. Уравнения, не разрешённые относительно производной.
7. Уравнения старших порядков.
8. Различные типы уравнений первого порядка и сводящиеся к ним.
9. Контрольная работа.
10. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
11. -"-
12. Линейные уравнения с переменными коэффициентами.
13. Определитель Вронского. Теоремы сравнения. Краевые задачи.
14. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (начало – тема будет продолжена в следующем семестре).
15. Повторение.

Весенний семестр (весна 2009):

1. Экспонента линейного оператора. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами (случай вещественных собственных чисел, простой и кратный спектры). А 3--7, Ф #14.
2. Случай комплексных собственных чисел линейных систем с постоянными коэффициентами. Фазовые потоки линейных систем.
3. Неоднородные системы с постоянными кожффициентами однородной части. Квазимногочлены. Авриация постоянных.
4. Системы с дискретным временем (возвратные уравнения). Фазовые портреты линейных систем на плоскости.
5. Уравнения в вариациях по начальным условиям и параметрам. Ф #18.
6. Первые интегралы; уравнения с частными производными первого порядка. Ф #19-20, А 26-29.
7. Квазилинейные уравнеия, метод характеристик. Фазовые потоки и теорема о выпрямлении. А 16-19.
8. Устойчивость: Ф #15, А 10, 6. Типы особых точек: Ф #16, А 11-12. Фазовые портреты нелинейных систем на плоскости (например, консервативных).
9. Устойчивость периодических решений, предельных циклов на плоскости. Мультипликаторы.
10. Нормальные формы систем вблизи вырожденных особых точек, резонансы. Элементы теории бифуркаций.
11. Топологические инварианты особых точек и векторных полей в целом. Индекс особой точки.
12. Элементы эргодической теории. Динамические системы с инвариантной мерой.

Литература

1. А.Ф.Филиппов. Сборник задач по ОДУ.
2. В.В.Степанов. Курс ДУ.
3. И.Г.Петровский. Лекции по теории ОДУ.
4. Л.Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
5. Ю.Н.Бибиков. Курс ОДУ. Изд-во Высшая школа, 1991.
6. В.И.Арнольд. ОДУ.
7. Л.С.Понтрягин. ОДУ.